RAZONES Y PROPORCIONES

 ¿Qué es una razón?

Una razón es la comparación entre dos cantidades. Se puede expresar como un cociente o una división. 

Por ejemplo: La razón entre  5  y  8  se puede escribir  5/8  o  5∶8. Se lee  5  es a  8.

Las dos cantidades que se comparan son los términos de la razón. El primer término se llama Antecedente y el segundo término se llama Consecuente.

Valor de una razón

La razón es el cociente (Recordar que el cociente es el resultado de una división) obtenido entre el antecedente y el consecuente. 

Para obtener este resultado primero debemos realizar una ecuación con los valores que nos dan, de la siguiente forma.

• Primero debemos convertir nuestra razón en un fraccionario, según nos indique el ejercicio. En este ejemplo convertiremos la razón de 5:8

                

• Para encontrar la razón debemos encontrar un número que multiplicado por el número de hombres y de mujeres nos de 65, este número se convertiría entonces en una incógnita, que representaremos con la letra K.

Como ya sabemos cuál es la incógnita realizaremos una ecuación.  

Una vez sabemos cual es la constante multiplicaremos el numero de hombres por el valor de la constante y el número de mujeres por el valor de la constante, y así sabremos cuantos hombres hay y cuantas mujeres hay en el salón.

Como la pregunta es en palabras y no en números la respuesta también debe darse en palabras y no en números, de la siguiente manera.

En total hay 25 hombres y 40 mujeres en el salón de clases.

Para saber si es correcto nuestro procedimiento debemos primero sumar los resultados para ver si coincide con el ejercicio, en este caso la suma entre los 25 hombres y las 40 mujeres del salón nos da 65. Por último simplificaremos el fraccionario que nos dio el resultado. En el ejemplo siguiendo la formula el fraccionario nos dio 25/40; si simplificamos esto nos dará 5/8 que fue nuestra primera razón

Para tener más claridad del tema veremos el siguiente video.

Completaremos los siguientes ejercicios.

• En una clase la razón entre chicos y chicas es de 4 a 5. ¿Cuántos chicos y chicas tenemos en el salón si hay 40 estudiantes en total?

• Un panadero hace bizcochos y panes hawaianos en una razón de 6 a 9 ¿Cuántos panes hawaianos y cuantos bizcochos hizo en total si sacó un total de 90?

• Una lavandera debe lavar el uniforme de un grupo de obreros en una semana, entre pantalones y camisetas en una razón de 12 a 36  ¿Cuántas camisetas y cuantos pantalones debe lavar en total si son 480 prendas de ropa?.

• Una persona compró por Temu camisetas y lentes de sol para una fiesta en una razón de 5 a 10, cada uno en distintos paquetes. A las dos semanas le llegan 500 paquetes ¿Cuántas gafas y cuantas camisetas le llegaron?

• Un restaurante pide carne de langosta y filetes de caballo en una proporción de 3 a 7, en distintos paquetes al otro día le llegan 80 paquetes ¿Cuántas langostas y cuantos filetes de caballo tenemos?

Proporciones

Una proporción es la relación directa o inversa que existe entre dos variables, es decir, que dos variables son afectadas si una de ellas cambia..

• Proporción directa

Podemos definir una proporción directa como dos variables directamente relacionadas, es decir, si una variable aumenta la otra variable también aumenta. Si una variable disminuye la otra variable también disminuye.

También se conoce una variable como independiente y la otra variable como dependiente.

• Proporción inversa

Podemos definir una proporción inversa como dos variables inversamente relacionadas, es decir, si una variable aumenta la otra variable disminuyen o si una variable disminuye la otra variable aumenta.

CALCULO Y GRAFICACIÓN DE PROPORCIONES

Para graficar una proporción, bien sea directa o inversa, debemos primero calcular las distintas variables por medio de un cuadro, el cual completaremos de la siguiente manera.

• Cuando se trata de una proporcionalidad directa debemos calcular primero que variable corresponde a su igual, y el resultado lo calculamos sobre 1; en la tabla como solo tenemos una variable con su igual, la cual es 3 huevos a 6.000$, dividimos esos seis mil pesos sobre 3 y el resultado, el cual seria 2.000$ lo ponemos sobre uno, así.

• Ya puestos estos valores lo que nos queda es multiplicar las variables que nos faltan por el resultado que nos dio al inicio de la división, es decir, multiplicamos el resto de variables por 2.000$, y así completaríamos el cuadro.

• Para graficar realizaremos un plano cartesiano, donde las dos variables serán puestas en los ejes X y Y respectivamente, y procederemos a graficar,

• Cuando se trata de una proporcionalidad inversa también debemos calcular primero que variable corresponde a su igual, sin embargo en vez de dividir las variables vamos a multiplicarlas, y con el resultado debemos encontrarle el segundo múltiplo a las otras variables. Por ejemplo, si tengo 3 estudiantes y a cada uno le toca 60 dulces, multiplico 3 por 60, lo cual es igual a 180, y busco un numero que multiplicado por la otras variables también me de 180, así.

• Para graficar también realizaremos un plano cartesiano, donde las dos variables serán puestas en los ejes X y Y respectivamente, y procederemos a graficar,

Completaremos y graficaremos las siguientes proporciones, identificando primero si son directas o inversas.

• La señora Juanita cocina tortas, si con 10 huevos ella cocina 1 tarta, ¿Cuántas tortas puede cocinar con 20, 30 y 40 huevos?

• Un automóvil recorre 200 kilómetros con 30 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con 1, 60, 90 y 120 litros de gasolina?

• Si 20 trabajadores se demoran 100 días en terminar de pavimentar una calle. ¿Cuántos días se demoran en pavimentar la misma calle solo 5, 10, 15 y 25 trabajadores?

• Una llave de agua llena 1 piscinas en 1500 horas, ¿Cuánto se demoran en llenar la misma piscina 7, 14, 21 y 28 llaves de agua?